烟幕干扰弹投放策略问题讲解

主讲人：复旦大学数学科学学院 蔡志杰

问题的提出

烟幕干扰弹主要通过化学燃烧或爆炸分散形成烟幕（气溶胶云团），在目标前方特定空域形成遮蔽，以干扰敌方导弹的制导/识别，具有成本低、效费比高等优点。现已有多种定点精确抛撒方式：抛撒前可精确控制烟幕干扰弹到达预定位置，并通过时间引信控制起爆时刻。

现考虑运用无人机完成烟幕干扰弹的投放。具有长续航能力的无人机挂载烟幕干扰弹在特定空域巡飞，受领任务后在来袭导弹与被保护目标之间投放烟幕干扰弹形成遮蔽。约束条件包括：

• 每架无人机投放两枚烟幕干扰弹，间隔至少 1 s；
• 干扰弹脱离无人机后仅受重力作用（平抛运动）；
• 起爆后瞬时形成半径固定的球状烟幕云团，云团以 3 m/s 的速度匀速下沉；
• 云团中心 10 m 范围内的浓度，在起爆后 20 s 内可对目标提供有效遮蔽（即烟幕球半径 $r_{\mathrm{s}}=10\text{ m}$，有效期 $t_{\mathrm{s}}^{\ast }=20\text{ s}$）。

场景设置：来袭武器为空地导弹，飞行速度 $v_{\mathrm{m}}=300\text{ m/s}$，其飞行方向始终指向为掩护真目标而设置的假目标。以假目标为坐标原点，水平面为 $xy$ 平面；真目标为半径 7 m、高 10 m 的圆柱体，其下底面圆心位于 $(0,200,0)$。警戒雷达发现来袭导弹时刻记为零时刻，此时刻起各平台位置为：

平台	位置 (m)
导弹 M1	$(20000,0,2000)$
导弹 M2	$(19000,600,2100)$
导弹 M3	$(18000,-600,1900)$
无人机 FY1	$(17800,0,1800)$
无人机 FY2	$(12000,1400,1400)$
无人机 FY3	$(6000,-3000,700)$
无人机 FY4	$(11000,2000,1800)$
无人机 FY5	$(13000,-2000,1300)$

控制中心在警戒雷达发现目标时立即向无人机指派任务；无人机受领任务后可瞬时调整航向，随后以 70～140 m/s 的速度等高度匀速直线飞行（不同无人机航向、速度可各不相同，但一旦确定不再改变）。

目标：设计无人机的飞行方向、飞行速度，以及每枚烟幕干扰弹的投放点、起爆点，使多枚干扰弹对真目标的有效遮蔽时长尽可能长（不同干扰弹的遮蔽区间允许不连续）。

问题 1 FY1 以 120 m/s 速度朝假目标方向飞行，受领任务 1.5 s 后投放 1 枚干扰弹，投放后 3.6 s 起爆，求该弹对 M1 的有效遮蔽时长。

问题 2 仅用 FY1 投放 1 枚干扰弹干扰 M1，优化无人机航向、速度及投放点、起爆点，使遮蔽时长最长。

问题 3 FY1 投放 3 枚干扰弹干扰 M1，给出投放策略，结果存入 result1.xlsx。

问题 4 FY1、FY2、FY3 各投放 1 枚干扰弹干扰 M1，给出投放策略，结果存入 result2.xlsx。

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运动模型

符号约定

符号	含义
$P_{\mathrm{t}}=(x_{\mathrm{t}},y_{\mathrm{t}},z_{\mathrm{t}})$	假目标（原点，导弹瞄准飞行的方向点）
$P_{\mathrm{c}}=(x_{\mathrm{c}},y_{\mathrm{c}},z_{\mathrm{c}})$	真目标（圆柱体）表面上一点
$r_{\mathrm{c}},h_{\mathrm{c}}$	真目标半径（7 m）、高度（10 m）
$P_{\mathrm{m}}^0,v_{\mathrm{m}}$	导弹初始位置、飞行速度（300 m/s）
$P_{\mathrm{u}}^0,v_{\mathrm{u}},{\alpha }_{\mathrm{u}}$	无人机初始位置、飞行速度（70~140 m/s）、航向角
$r_{\mathrm{s}},v_{\mathrm{s}}$	烟幕球半径（10 m）、下沉速度（3 m/s）
$t_{\mathrm{u}}$	受领任务到投放干扰弹的时间
$t_{\mathrm{b}}$	投放到起爆的时间（自由落体时长）
$t_{\mathrm{s}}$	起爆后的下沉时长，$0\le t_{\mathrm{s}}\le t_{\mathrm{s}}^{\ast }=20\text{ s}$
$g$	重力加速度

规定零时刻为警戒雷达发现导弹的时刻，此后所有时间均以此为基准。

导弹运动模型

导弹自 $P_{\mathrm{m}}^0$ 出发，以恒定速度 $v_{\mathrm{m}}$ 沿直线飞向假目标 $P_{\mathrm{t}}$，故 $t$ 时刻位置为

$$\begin{array}{rl}{x}_{\mathrm{m}}(t)& =x_{\mathrm{m}}^0+\frac{x_{\mathrm{t}}-x_{\mathrm{m}}^0}{\left|P_{\mathrm{m}}^0{P}_{\mathrm{t}}\right|}{v}_{\mathrm{m}}t,\\ y_{\mathrm{m}}(t)& =y_{\mathrm{m}}^0+\frac{y_{\mathrm{t}}-y_{\mathrm{m}}^0}{\left|P_{\mathrm{m}}^0{P}_{\mathrm{t}}\right|}{v}_{\mathrm{m}}t,\\ z_{\mathrm{m}}(t)& =z_{\mathrm{m}}^0+\frac{z_{\mathrm{t}}-z_{\mathrm{m}}^0}{\left|P_{\mathrm{m}}^0{P}_{\mathrm{t}}\right|}{v}_{\mathrm{m}}t.\end{array}$$

即沿单位方向向量 $\frac{P_{\mathrm{t}}-P_{\mathrm{m}}^0}{|P_{\mathrm{m}}^0{P}_{\mathrm{t}}|}$ 匀速直线运动。导弹飞抵假目标所需时间为 $\frac{|P_{\mathrm{m}}^0{P}_{\mathrm{t}}|}{v_{\mathrm{m}}}$，这也是后续投放时间 $t_{\mathrm{u}}$ 的自然上界。

无人机运动模型

无人机受领任务后瞬时确定航向角 ${\alpha }_{\mathrm{u}}$（在水平面内）与速度 $v_{\mathrm{u}}$，此后保持等高度匀速直线飞行：

$$\begin{array}{rl}{x}_{\mathrm{u}}(t)& =x_{\mathrm{u}}^0+v_{\mathrm{u}}t\cos {\alpha }_{\mathrm{u}},\\ y_{\mathrm{u}}(t)& =y_{\mathrm{u}}^0+v_{\mathrm{u}}t\sin {\alpha }_{\mathrm{u}},\\ z_{\mathrm{u}}(t)& =z_{\mathrm{u}}^0.\end{array}$$

烟幕干扰弹运动模型（三阶段）

干扰弹的运动分三个阶段：随机搭载 → 脱离后自由落体 → 起爆后云团匀速下沉。

阶段一（$0\le t\le t_{\mathrm{u}}$）：干扰弹随无人机运动，投放时刻 $t_{\mathrm{u}}$ 处的位置即为无人机当时的位置：

$$x_{\mathrm{u}}\left(t_{\mathrm{u}}\right)=x_{\mathrm{u}}^0+v_{\mathrm{ux}}{t}_{\mathrm{u}},y_{\mathrm{u}}\left(t_{\mathrm{u}}\right)=y_{\mathrm{u}}^0+v_{\mathrm{uy}}{t}_{\mathrm{u}},z_{\mathrm{u}}\left(t_{\mathrm{u}}\right)=z_{\mathrm{u}}^0,$$

其中 $v_{\mathrm{ux}}=v_{\mathrm{u}}\cos {\alpha }_{\mathrm{u}},v_{\mathrm{uy}}=v_{\mathrm{u}}\sin {\alpha }_{\mathrm{u}}$。

阶段二（脱离后 $t_{\mathrm{b}}$ 秒内）：干扰弹脱离无人机时保留水平初速度 $(v_{\mathrm{bx}},v_{\mathrm{by}})=(v_{\mathrm{ux}},v_{\mathrm{uy}})$，竖直方向做自由落体，故起爆时刻的位置为

$$x_{\mathrm{b}}\left(t_{\mathrm{u}}+t_{\mathrm{b}}\right)=x_{\mathrm{u}}\left(t_{\mathrm{u}}\right)+v_{\mathrm{bx}}{t}_{\mathrm{b}},y_{\mathrm{b}}\left(t_{\mathrm{u}}+t_{\mathrm{b}}\right)=y_{\mathrm{u}}\left(t_{\mathrm{u}}\right)+v_{\mathrm{by}}{t}_{\mathrm{b}},$$

$$z_{\mathrm{b}}\left(t_{\mathrm{u}}+t_{\mathrm{b}}\right)=z_{\mathrm{u}}\left(t_{\mathrm{u}}\right)-\frac{1}{2}g{t}_{\mathrm{b}}^2.$$

由此得到起爆点高度必须为正，即约束 $z_{\mathrm{u}}^0-\frac{1}{2}g{t}_{\mathrm{b}}^2\ge 0$，亦即 $0\le t_{\mathrm{b}}\le \sqrt{\frac{2z_{\mathrm{u}}^0}{g}}$（对应飞行高度自由落体所需的最长时间）。

阶段三（起爆后 $t_{\mathrm{s}}$ 秒内）：起爆瞬间形成球状云团，水平位置不再改变，仅以 $v_{\mathrm{s}}=3\text{ m/s}$ 匀速下沉：

$$x_{\mathrm{s}}=x_{\mathrm{b}}\left(t_{\mathrm{u}}+t_{\mathrm{b}}\right),y_{\mathrm{s}}=y_{\mathrm{b}}\left(t_{\mathrm{u}}+t_{\mathrm{b}}\right),z_{\mathrm{s}}\left(t_{\mathrm{u}}+t_{\mathrm{b}}+t_{\mathrm{s}}\right)=z_{\mathrm{b}}\left(t_{\mathrm{u}}+t_{\mathrm{b}}\right)-v_{\mathrm{s}}{t}_{\mathrm{s}}.$$

即在 $0\le t_{\mathrm{s}}\le t_{\mathrm{s}}^{\ast }=20\text{ s}$ 的窗口内，烟幕球心 $P_{\mathrm{s}}(t_{\mathrm{s}})=(x_{\mathrm{s}},y_{\mathrm{s}},z_{\mathrm{b}}-v_{\mathrm{s}}{t}_{\mathrm{s}})$ 随时间线性下移，这是后续判别遮蔽的核心状态量。

综上，给定决策变量 $({\alpha }_{\mathrm{u}},v_{\mathrm{u}},t_{\mathrm{u}},t_{\mathrm{b}})$，即可算出任意 $t_{\mathrm{s}}\in [0,t_{\mathrm{s}}^{\ast }]$ 时刻烟幕球心的位置，以及同一时刻导弹的位置 $P_{\mathrm{m}}(t_{\mathrm{u}}+t_{\mathrm{b}}+t_{\mathrm{s}})$，从而进入下一节的遮蔽判别。

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烟幕遮蔽目标的判别模型

圆柱体被遮蔽的充要条件

结论：圆柱形真目标被烟幕遮蔽，当且仅当真目标表面上任意一点均被烟幕遮蔽；进一步地，只需上、下底面圆周均被遮蔽，即可保证整个圆柱体（含侧面与两个底面圆盘）被遮蔽。

判断一点是否被遮蔽，等价于判断该点与导弹的连线是否与烟幕球有交集：

若上、下底面圆周均被遮蔽，则上、下底面圆盘、进而整个圆柱体都被遮蔽：

证明（将圆盘遮蔽归约为圆周遮蔽）

记烟幕球面为 $S=\{(x,y,z)\mid (x-x_{\mathrm{s}}{)}^2+(y-y_{\mathrm{s}}{)}^2+(z-z_{\mathrm{s}}{)}^2=r_{\mathrm{s}}^2\}$，球体为 $\overline{S}$（即 $S$ 的内部连同球面）。导弹位置 $P_{\mathrm{m}}$ 在球体外部（否则导弹已被烟幕包裹，情形退化）。

定义 1（阴影锥） 从 $P_{\mathrm{m}}$ 出发、与烟幕球相交的全部射线所扫过的空间区域，称为烟幕球对 $P_{\mathrm{m}}$ 的阴影锥，记为

$$\mathcal{K}\triangleq \{X\in {\mathbb{R}}^3\mid \text{线段 }{P}_{\mathrm{m}}X\cap \overline{S}\ne \varnothing \}.$$

即：空间一点被遮蔽，当且仅当它属于 $\mathcal{K}$。

引理 1（阴影锥的凸性） $\mathcal{K}$ 是凸集。

证明：任取 $A,B\in \mathcal{K}$，按定义，存在 $a,b\in \overline{S}$ 及 $\alpha ,\beta \ge 0$ 使得 $A=P_{\mathrm{m}}+\alpha (a-P_{\mathrm{m}})$，$B=P_{\mathrm{m}}+\beta (b-P_{\mathrm{m}})$（当 $\alpha <1$ 时 $A$ 位于 $P_{\mathrm{m}}$ 与 $a$ 之间的线段上；$\alpha =1$ 时 $A=a$；$\alpha >1$ 时 $A$ 位于 $a$ 的远端延长线上。$b,\beta$ 同理）。

对任意 $\lambda \in [0,1]$，考察凸组合 $C=\lambda A+(1-\lambda )B$：

$$\begin{array}{rl}C& =\lambda P_{\mathrm{m}}+(1-\lambda )P_{\mathrm{m}}+\lambda \alpha (a-P_{\mathrm{m}})+(1-\lambda )\beta (b-P_{\mathrm{m}})\\ & =P_{\mathrm{m}}+\mu \left[\frac{\lambda \alpha }{\mu }(a-P_{\mathrm{m}})+\frac{(1-\lambda )\beta }{\mu }(b-P_{\mathrm{m}})\right]\\ & =P_{\mathrm{m}}+\mu \left[\left(\frac{\lambda \alpha }{\mu }a+\frac{(1-\lambda )\beta }{\mu }b\right)-P_{\mathrm{m}}\right],\end{array}$$

其中 $\mu \triangleq \lambda \alpha +(1-\lambda )\beta \ge 0$。令

$$c\triangleq \frac{\lambda \alpha }{\mu }a+\frac{(1-\lambda )\beta }{\mu }b.$$

由于 $\frac{\lambda \alpha }{\mu }+\frac{(1-\lambda )\beta }{\mu }=1$ 且两项系数均非负，$c$ 是 $a,b\in \overline{S}$ 的凸组合。球体 $\overline{S}$ 是凸集，故 $c\in \overline{S}$。于是 $C=P_{\mathrm{m}}+\mu (c-P_{\mathrm{m}})$ 满足定义，$C\in \mathcal{K}$。由 $A,B,\lambda$ 的任意性，$\mathcal{K}$ 是凸集。$\square$

引理 2（圆柱体的凸包表示） 记上底面圆周为 $C_1$（$z=h_{\mathrm{c}}$ 处的圆 $x^2+y^2=r_{\mathrm{c}}^2$），下底面圆周为 $C_0$（$z=0$ 处的圆）。则圆柱体 $\mathcal{C}$（含两个底面圆盘与侧面）恰为 $C_0\cup C_1$ 的凸包：

$$\mathcal{C}=\mathrm{conv}(C_0\cup C_1).$$

证明：任取 $p=(x,y,z)\in \mathcal{C}$，满足 $x^2+y^2\le r_{\mathrm{c}}^2$，$0\le z\le h_{\mathrm{c}}$。令 $\lambda =z/h_{\mathrm{c}}\in [0,1]$。由于单位圆盘是单位圆周的凸包，存在 ${\theta }_1,{\theta }_2\in [0,2\pi ]$ 及 $\tau \in [0,1]$ 使得

$$(\frac{x}{r_{\mathrm{c}}},\frac{y}{r_{\mathrm{c}}})=\tau (\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)+(1-\tau )(\cos {\theta }_2,\sin {\theta }_2).$$

于是

$$\begin{array}{rl}p& =\lambda (r_{\mathrm{c}}\cos {\theta }_1,r_{\mathrm{c}}\sin {\theta }_1,h_{\mathrm{c}})+(1-\lambda )(r_{\mathrm{c}}\cos {\theta }_2,r_{\mathrm{c}}\sin {\theta }_2,0)\\ & +\lambda (1-\tau )[r_{\mathrm{c}}(\cos {\theta }_2-\cos {\theta }_1),r_{\mathrm{c}}(\sin {\theta }_2-\sin {\theta }_1),0].\end{array}$$

注意到第三项的系数可重写为 $\lambda (1-\tau )=\lambda +\tau -1$（仅在 $\lambda +\tau \ge 1$ 时有此形式；若 $\lambda +\tau <1$ 可先写 $p$ 为另两个圆上点的凸组合）。更简洁的论证是：圆盘 ${\overline{D}}_0$（$z=0$）和 ${\overline{D}}_1$（$z=h_{\mathrm{c}}$）各是相应圆周的凸包，而圆柱体是 ${\overline{D}}_0$ 和 ${\overline{D}}_1$ 的直积凸包，即 $\mathcal{C}=\mathrm{conv}({\overline{D}}_0\cup {\overline{D}}_1)$。由凸包运算的传递性，$\mathcal{C}=\mathrm{conv}(\mathrm{conv}(C_0)\cup \mathrm{conv}(C_1))=\mathrm{conv}(C_0\cup C_1)$。$\square$

定理 1（圆柱体遮蔽的归约定理） 设 $P_{\mathrm{m}}$ 在烟幕球 $\overline{S}$ 外部。圆柱形真目标 $\mathcal{C}$ 被烟幕遮蔽，当且仅当其上下底面圆周 $C_0,C_1$ 均被遮蔽。

证明：

($\Rightarrow$) 若整个圆柱体 $\mathcal{C}$ 被遮蔽，则 $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{K}$。$C_0,C_1\subset \mathcal{C}$，故 $C_0,C_1\subseteq \mathcal{K}$，即两圆周均被遮蔽。

($\Leftarrow$) 若 $C_0,C_1\subseteq \mathcal{K}$，由引理 1，$\mathcal{K}$ 是凸集，故 $\mathrm{conv}(C_0\cup C_1)\subseteq \mathcal{K}$。由引理 2，$\mathcal{C}=\mathrm{conv}(C_0\cup C_1)$。因此 $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{K}$，即整个圆柱体被遮蔽。$■$

定理 1 将"三维连续体是否被遮蔽"的检验严格归约为"两条一维闭合曲线是否被遮蔽"的检验，这是后续所有判别算法的理论基础。

单点遮蔽判别：距离法

判断连线 $P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{c}}$ 是否与烟幕球相交，等价于判断烟幕球心 $P_{\mathrm{s}}$ 到直线 $P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{c}}$ 的距离是否不超过球半径 $r_{\mathrm{s}}$：

点到直线距离公式的推导：设 $\vec{u}=\overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{c}}}$ 为直线方向向量，$\vec{v}=\overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}}$。$P_{\mathrm{s}}$ 在直线上的投影长为 $\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}|}$，由勾股定理，$P_{\mathrm{s}}$ 到直线的距离平方为投影之外的部分：

$$d^2={\left|P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}\right|}^2-\frac{{\left(\overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{c}}}\cdot \overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}}\right)}^2}{{\left|P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{c}}\right|}^2}.$$

因此，遮蔽条件为 $d^2\le r_{\mathrm{s}}^2$，即

$$r_{\mathrm{s}}^2\ge {\left|P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}\right|}^2-\frac{{\left(\overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{c}}}\cdot \overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}}\right)}^2}{{\left|P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{c}}\right|}^2}.$$

圆周整体遮蔽的判别：参数化极值问题

将上（或下）底面圆周上的点参数化为 $P_{\mathrm{c}}(\theta )=(r_{\mathrm{c}}\cos \theta ,r_{\mathrm{c}}\sin \theta ,z_{\mathrm{c}})$，其中 $z_{\mathrm{c}}=0$（下底面）或 $z_{\mathrm{c}}=h_{\mathrm{c}}$（上底面），代入 3.2 的距离公式，得到关于 $\theta$ 的函数

$$\begin{array}{rl}f(\theta )\triangleq & \left[{\left(x_{\mathrm{s}}-x_{\mathrm{m}}\right)}^2+{\left(y_{\mathrm{s}}-y_{\mathrm{m}}\right)}^2+{\left(z_{\mathrm{s}}-z_{\mathrm{m}}\right)}^2\right]\\ & -\frac{{\left[\left(r_{\mathrm{c}}\cos \theta -x_{\mathrm{m}}\right)\left(x_{\mathrm{s}}-x_{\mathrm{m}}\right)+\left(r_{\mathrm{c}}\sin \theta -y_{\mathrm{m}}\right)\left(y_{\mathrm{s}}-y_{\mathrm{m}}\right)+\left(z_{\mathrm{c}}-z_{\mathrm{m}}\right)\left(z_{\mathrm{s}}-z_{\mathrm{m}}\right)\right]}^2}{{\left(r_{\mathrm{c}}\cos \theta -x_{\mathrm{m}}\right)}^2+{\left(r_{\mathrm{c}}\sin \theta -y_{\mathrm{m}}\right)}^2+{\left(z_{\mathrm{c}}-z_{\mathrm{m}}\right)}^2}.\end{array}$$

由此，整条圆周被遮蔽的充要条件是

$$\underset{\theta \in [0,2\pi ]}{\max }f(\theta )\le r_{\mathrm{s}}^2.$$

求临界角：对 $f(\theta )$ 求导并令其为零（相当于对分子中的内积项求驻点），整理可得如下等价的三角方程：

$$\begin{array}{rl}& \left[\left(x_{\mathrm{s}}-x_{\mathrm{m}}\right)\sin \theta -\left(y_{\mathrm{s}}-y_{\mathrm{m}}\right)\cos \theta \right]\\ & \times \left[r_{\mathrm{c}}^2+x_{\mathrm{m}}^2+y_{\mathrm{m}}^2+{\left(z_{\mathrm{c}}-z_{\mathrm{m}}\right)}^2-2r_{\mathrm{c}}{x}_{\mathrm{m}}\cos \theta -2r_{\mathrm{c}}{y}_{\mathrm{m}}\sin \theta \right]\\ & -\left(x_{\mathrm{m}}\sin \theta -y_{\mathrm{m}}\cos \theta \right)[r_{\mathrm{c}}\left(x_{\mathrm{s}}-x_{\mathrm{m}}\right)\cos \theta +r_{\mathrm{c}}\left(y_{\mathrm{s}}-y_{\mathrm{m}}\right)\sin \theta \\ & -x_{\mathrm{m}}\left(x_{\mathrm{s}}-x_{\mathrm{m}}\right)-y_{\mathrm{m}}\left(y_{\mathrm{s}}-y_{\mathrm{m}}\right)+\left(z_{\mathrm{c}}-z_{\mathrm{m}}\right)\left(z_{\mathrm{s}}-z_{\mathrm{m}}\right)]\\ & \triangleq a{\sin }^2\theta +b{\cos }^2\theta +c\sin \theta \cos \theta +d\sin \theta +e\cos \theta +f=0.\end{array}$$

利用 ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ 消去 $\cos \theta$ 的偶次项、并将含 $\cos \theta$ 的奇次项移到一侧再平方，可将上式化为关于 $\sin \theta$ 的多项式方程：

$${\left[(a-b){\sin }^2\theta +d\sin \theta +(b+f)\right]}^2=(c\sin \theta +e{)}^2\left(1-{\sin }^2\theta \right),$$

这是关于 $\sin \theta$ 的一元四次方程，可用数值方法（如多项式求根）求出全部驻点，再逐一代回 $f(\theta )$ 比较取最大值。注意：平方操作会引入不满足原方程符号关系的增根，需将候选 $\theta$ 代回原始（未平方）方程校验。

（对于"某条连线是否恰好与球相切/相交"这一更简单的子问题——即 3.4 节要用到的临界方向——同样的推导可退化为更简的形式：

$$\left(r_{\mathrm{c}}\cos \theta -x_{\mathrm{m}}\right)\left(x_{\mathrm{s}}-x_{\mathrm{m}}\right)+\left(r_{\mathrm{c}}\sin \theta -y_{\mathrm{m}}\right)\left(y_{\mathrm{s}}-y_{\mathrm{m}}\right)+\left(z_{\mathrm{c}}-z_{\mathrm{m}}\right)\left(z_{\mathrm{s}}-z_{\mathrm{m}}\right)\triangleq a\sin \theta +b\cos \theta +c=0,$$

同样通过消去 $\cos \theta$ 并平方，得到 $(a\sin \theta +c{)}^2=b^2(1-{\sin }^2\theta )$，进而数值求解。）

特殊情形：需排除"导弹已越过烟幕"的伪遮蔽

3.2、3.3 节的距离判据本质上是直线（而非射线）到球心的距离，因此当 $d\le r_{\mathrm{s}}$ 但 $|P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}|>r_{\mathrm{s}}$（球心不在导弹上）时，还需额外确认：沿导弹实际观察方向（由 $P_{\mathrm{m}}$ 指向 $P_{\mathrm{c}}$ 的射线，而非整条直线）是否真的先经过烟幕球——否则会出现"云团其实在导弹身后（已被导弹甩开）却被误判为遮蔽"的情形。

对圆周上的每一点，需要检验是否存在使圆周落入球"阴影"之外的方向，等价于求解

$$\underset{\theta \in [0,2\pi ]}{\max }g(\theta )\ge r_{\mathrm{s}}^2,$$

其中 $g(\theta )$ 是以 $P_{\mathrm{m}}$ 到圆周上参数为 $\theta$ 的点为半径所构造的辅助度量。对其求导：

$$g^{\prime }(\theta )=-2r_{\mathrm{c}}\sin \theta \left(x_{\mathrm{m}}-x_{\mathrm{s}}\right)+2r_{\mathrm{c}}\cos \theta \left(y_{\mathrm{m}}-y_{\mathrm{s}}\right)=0,$$

解得两个驻点

$${\theta }_1=\arctan \frac{y_{\mathrm{m}}-y_{\mathrm{s}}}{x_{\mathrm{m}}-x_{\mathrm{s}}}={\theta }^{\ast },{\theta }_2={\theta }^{\ast }+\pi ,$$

只需检验

$$g\left({\theta }_1\right)\ge r_{\mathrm{s}}^2\text{或}g\left({\theta }_2\right)\ge r_{\mathrm{s}}^2.$$

更直接的判据（向量内积符号法）：当 $d\le r_{\mathrm{s}}$ 且 $|P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}|>r_{\mathrm{s}}$ 时，可以直接用内积 $\overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{c}}}\cdot \overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}}$ 的符号来判断球心相对导弹前进方向的位置：

• 若 $\overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{c}}}\cdot \overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}}>0$，说明烟幕球心在射线 $P_{\mathrm{m}}\to P_{\mathrm{c}}$ 的正方向上，导弹尚未越过烟幕，遮蔽有效；
• 若 $\overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{c}}}\cdot \overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}}<0$，说明烟幕球心在导弹前进方向的反方向，导弹已经越过（或尚未到达实质上不构成遮蔽），此时应判为不遮蔽。

这一判据比 $g(\theta )$ 的极值搜索简单得多，是实践中更推荐的做法（也是第 9 节"评阅问题"中指出的可改进之处，见 3.5 节）。

等价的更简方法：夹角判别法

上述距离法在处理"整条圆周"和"导弹是否越过烟幕"两个问题时都涉及较繁琐的三角方程求解。一个更简洁、数值上更稳定的等价方法是夹角判别法：

以 $P_{\mathrm{m}}$ 为顶点，向烟幕球所引切线与连心线 $P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}$ 的夹角 $\alpha$（即球对 $P_{\mathrm{m}}$ 张开的半锥角）满足

$$\sin \alpha =\frac{r_{\mathrm{s}}}{\left|P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}\right|}.$$

对真目标上任一点 $A$（含圆周上的点），$A$ 被遮蔽当且仅当从 $P_{\mathrm{m}}$ 看向 $A$ 的方向落在该切锥内，即

$$\cos \angle P_{\mathrm{s}}{P}_{\mathrm{m}}A=\frac{\overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}}\cdot \overrightarrow{P_{\mathrm{m}}A}}{\left|P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}\right|\left|P_{\mathrm{m}}A\right|}\ge \cos \alpha .$$

与距离法的等价性证明：在以 $P_{\mathrm{m}}$ 为顶点的直角三角形 $P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}T$（$T$ 为切点）中，$\sin \alpha =r_{\mathrm{s}}/|P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}|$ 由直角三角形定义直接给出。当射线 $P_{\mathrm{m}}A$ 与连心线夹角 $\angle P_{\mathrm{s}}{P}_{\mathrm{m}}A\le \alpha$ 时，$A$ 到直线 $P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}$ …… 不，应表述为：此时 $P_{\mathrm{s}}$ 到射线 $P_{\mathrm{m}}A$ 的距离 $|P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}|\sin \angle P_{\mathrm{s}}{P}_{\mathrm{m}}A\le |P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}|\sin \alpha =r_{\mathrm{s}}$，恰为 3.2 节的距离判据；反之亦然。因此夹角判据与距离判据在数学上完全等价。它的优势在于：

1. 天然只检验射线方向（$\angle \in [0,\pi ]$ 且要求 $\overrightarrow{P_{\mathrm{m}}A}$ 与 $\overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}}$ 夹角为锐角/直角），自动排除了 3.4 节"导弹越过烟幕"的伪遮蔽问题，无需额外的内积符号检验或 $g(\theta )$ 极值搜索；
2. 对圆周整体遮蔽的判别，只需比较圆周上各点方向与 $\overrightarrow{P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{s}}}$ 的最大夹角（即圆周对 $P_{\mathrm{m}}$ 张开的视锥半角）是否不超过 $\alpha$，同样是一个更直接的极值问题。

综合以上，3.2～3.4 节给出了完整的"距离法"推导链条（便于理解遮蔽判据的几何本质），而 3.5 节的"夹角法"在数值实现时更为稳健，建议作为编程实现的首选判据，二者互为校验。

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单个烟幕遮蔽目标的有效时长

离散化穷举法

对下沉时长 $t_{\mathrm{s}}\in [0,t_{\mathrm{s}}^{\ast }]$ 按固定步长 $\Delta t$ 离散化，得到时间点 $t_1,t_2,\dots ,t_n$，逐点用第 3 节的判据判断该时刻是否遮蔽，累加被遮蔽的时长：

$$T=\sum _{\begin{array}{c}{t}_i\text{时刻能被遮蔽}\\ 1\le i\le n\end{array}}\Delta t.$$

更具体地，由于遮蔽状态通常呈现"先不遮蔽 → 遮蔽 → 不遮蔽"的单峰模式，可采用如下更精细的做法：从 $t_{\mathrm{s}}=0$ 起按步长依次判断，

• 若一直到 $t_{\mathrm{s}}^{\ast }$ 都不能遮蔽，则 $T=0$；
• 若到某个 $t_i$ 首次可以遮蔽，则继续向后判断，直到某个 ${\tilde{t}}_j$ 时刻不再能遮蔽（或一直遮蔽到 $t_{\mathrm{s}}^{\ast }$），记 $t_j={\tilde{t}}_j-\Delta t$（或 $t_j=t_{\mathrm{s}}^{\ast }$），则

$$T=t_j-t_i.$$

该穷举法可配合变步长策略提升精度与效率：先用较大步长粗定位遮蔽区间，再在候选区间内用较小步长细化，重复直至满足精度要求。

上、下底面圆周遮蔽的起止时刻

根据 3.1 节的归约结论，圆柱体在 $t_{\mathrm{s}}$ 时刻被遮蔽 $⟺$ 上、下底面圆周同时被遮蔽 $⟺$

$$\underset{0\le \theta \le 2\pi }{\max }d\left(P_{\mathrm{s}}(t_{\mathrm{s}}),P_{\mathrm{c}}^{\mathrm{top}}(\theta )\right)\le r_{\mathrm{s}}\text{且}\underset{0\le \theta \le 2\pi }{\max }d\left(P_{\mathrm{s}}(t_{\mathrm{s}}),P_{\mathrm{c}}^{\mathrm{bot}}(\theta )\right)\le r_{\mathrm{s}}.$$

分别定义上底面遮蔽的起、止时刻：

$$T_s^{\mathrm{top}}=\min \left\{t|\underset{0\le \theta \le 2\pi }{\max }d(P_{\mathrm{s}}(t),P_{\mathrm{c}}^{\mathrm{top}}(\theta ))\le r_{\mathrm{s}}\right\},T_e^{\mathrm{top}}=\max \left\{t|\underset{0\le \theta \le 2\pi }{\max }d(P_{\mathrm{s}}(t),P_{\mathrm{c}}^{\mathrm{top}}(\theta ))\le r_{\mathrm{s}}\right\},$$

对下底面同样定义 $T_s^{\mathrm{bot}},T_e^{\mathrm{bot}}$。由于圆柱体需要同时满足两个条件，遮蔽窗口取二者交集：

$$T_s=\max \{T_s^{\mathrm{top}},T_s^{\mathrm{bot}}\},T_e=\min \{T_e^{\mathrm{top}},T_e^{\mathrm{bot}}\},T=T_e-T_s(\text{当 }{T}_e>T_s\text{，否则 }T=0).$$

正确性说明：假设上、下底面各自的遮蔽区间都是形如 $[T_s^{\bullet },T_e^{\bullet }]$ 的单一连通区间（这在烟幕单调下沉、导弹单调接近的物理情形下通常成立），则"两条件同时成立"对应的时间集合就是两个区间的交集 $[T_s^{\mathrm{top}},T_e^{\mathrm{top}}]\cap [T_s^{\mathrm{bot}},T_e^{\mathrm{bot}}]=[\max \{T_s^{\mathrm{top}},T_s^{\mathrm{bot}}\},\min \{T_e^{\mathrm{top}},T_e^{\mathrm{bot}}\}]$，即上式。

改进二分法

直接对 $t_{\mathrm{s}}$ 做等步长穷举计算量较大，且普通二分法要求函数单调，而"是否被遮蔽"这一布尔量不是单调函数，故需要改进：借助无人机/导弹相对烟幕距离变化的方向来引导二分搜索。

输入：无人机飞行方向 ${\alpha }_{\mathrm{u}}$、速度 $v_{\mathrm{u}}$，投弹时间 $t_{\mathrm{u}}$、起爆时间 $t_{\mathrm{b}}$，计算精度 $\epsilon$。
输出：遮蔽时间区间 $[T_s,T_e]$。

第 1 步：确定上底面遮蔽起始时刻 $T_s^{\mathrm{top}}$

1. 令 $T_s^{\mathrm{top}}=+\infty$，$t_1=0$，$t_2=t_{\mathrm{s}}^{\ast }$；
2. 若 $t_2-t_1<\epsilon$，转第 2 步；否则转 (3)；
3. 令 $t=\frac{t_1+t_2}{2}$，用第 3 节判据判断此时上底面圆周是否被遮蔽：
   • 若能遮蔽，且导弹未越过烟幕，则更新 $T_s^{\mathrm{top}}=\min \{T_s^{\mathrm{top}},t\}$，令 $t_2=t$，转 (2)（说明遮蔽区间在 $[t_1,t]$ 内更早处也可能存在，向左收缩寻找更早的起点）；
   • 若能遮蔽，但导弹已越过烟幕（对应 3.4 节的伪遮蔽情形，此时该点不算真正遮蔽），令 $t_2=t$，转 (2)；
   • 若不能遮蔽，则依据无人机/烟幕与导弹连线距离的变化方向判断搜索方向：若该方向上继续增大 $t$ 会使得（导弹—烟幕）距离缩小（更可能进入遮蔽区），令 $t_1=t$；否则令 $t_2=t$；转 (2)。

第 2 步：确定上底面遮蔽结束时刻 $T_e^{\mathrm{top}}$

与第 1 步结构完全对称，只是搜索目标改为区间的右端点：

1. 令 $T_e^{\mathrm{top}}=-1$（表示"尚未找到"），$t_1=T_s^{\mathrm{top}}$（若第 1 步未找到遮蔽则 $t_1=0$），$t_2=t_{\mathrm{s}}^{\ast }$；
2. 若 $t_2-t_1<\epsilon$，转第 3 步；否则转 (3)；
3. 令 $t=\frac{t_1+t_2}{2}$，判断上底面圆周在 $t$ 时刻是否被遮蔽（同样需排除导弹越过烟幕的伪遮蔽）：
   • 若能遮蔽，更新 $T_e^{\mathrm{top}}=\max \{T_e^{\mathrm{top}},t\}$，令 $t_1=t$（向右收缩寻找更晚的终点），转 (2)；
   • 若不能遮蔽（或为伪遮蔽），令 $t_2=t$，转 (2)。

第 3 步：确定下底面遮蔽起始时刻 $T_s^{\mathrm{bot}}$

将第 1 步中的判据由"上底面圆周"替换为"下底面圆周"（即 3.3 节中取 $z_{\mathrm{c}}=0$），其余流程完全相同，得到 $T_s^{\mathrm{bot}}$。

第 4 步：确定下底面遮蔽结束时刻 $T_e^{\mathrm{bot}}$

将第 2 步中的判据同样替换为下底面圆周，得到 $T_e^{\mathrm{bot}}$。

第 5 步：合成整体遮蔽区间

若 $T_e^{\mathrm{top}}=-1$ 或 $T_e^{\mathrm{bot}}=-1$（即上/下底面自始至终未被遮蔽），则整体有效遮蔽时长 $T=0$；否则

$$T_s=\max \{T_s^{\mathrm{top}},T_s^{\mathrm{bot}}\},T_e=\min \{T_e^{\mathrm{top}},T_e^{\mathrm{bot}}\},T=\max \{T_e-T_s,0\}.$$

相比 4.1 节的等步长穷举，改进二分法把复杂度从 $O(n)$ 降到 $O(\log (1/\epsilon ))$ 次判据调用，且可达到任意指定精度，是问题 2 及以后各问中反复调用的"内层"计算模块。

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情形一：1 枚导弹、1 架无人机、1 枚烟幕干扰弹

问题 1：验证给定策略

将题目给定的数值（$v_{\mathrm{u}}=120\text{ m/s}$，航向指向假目标，$t_{\mathrm{u}}=1.5\text{ s}$，$t_{\mathrm{b}}=3.6\text{ s}$）代入第 2 节运动模型算出各时刻的 $P_{\mathrm{m}}(t)$、$P_{\mathrm{s}}(t)$，再用第 4 节的（改进二分法或离散法）计算遮蔽时长 $T$，即为问题 1 的答案。

问题 2：优化模型

决策变量为无人机航向 ${\alpha }_{\mathrm{u}}$、速度 $v_{\mathrm{u}}$、投放时间 $t_{\mathrm{u}}$、起爆时间 $t_{\mathrm{b}}$，优化模型为

$$\begin{array}{rl}\max & T\\ \text{s.t.}& 0\le {\alpha }_{\mathrm{u}}\le 2\pi ,70\le v_{\mathrm{u}}\le 140,t_{\mathrm{u}}\ge 0,t_{\mathrm{b}}\ge 0,\end{array}$$

其中 $T$ 由第 4 节的算法（给定 ${\alpha }_{\mathrm{u}},v_{\mathrm{u}},t_{\mathrm{u}},t_{\mathrm{b}}$ 后）计算得到，是一个没有解析表达式、只能数值求值的目标函数，因此该模型本质上是一个"黑箱优化"问题。为提高求解效率，可先通过几何直觉压缩可行域：

(1) 航向角 ${\alpha }_{\mathrm{u}}$ 的压缩

直观想法一：由于 $P_{\mathrm{t}}$（假目标）、$P_{\mathrm{s}}$（起爆点）、$P_{\mathrm{m}}^0$（导弹初始位置）在俯视图上接近共线（导弹始终朝假目标飞），若希望烟幕尽早、尽久地位于导弹—真目标视线上，无人机大致应朝真目标方向飞行，即 ${\alpha }_{\mathrm{u}}$ 应接近

$${\alpha }_{\mathrm{u}}=\pi +\arctan \frac{y_{\mathrm{c}}-y_{\mathrm{m}}^0}{x_{\mathrm{c}}-x_{\mathrm{m}}^0},$$

由此将可行域收窄为一个以此值为中心的邻域：

$$\pi +2\arctan \frac{y_{\mathrm{c}}-y_{\mathrm{m}}^0}{x_{\mathrm{c}}-x_{\mathrm{m}}^0}\le {\alpha }_{\mathrm{u}}\le \pi .$$

直观想法二：另一种策略是让无人机朝导弹来袭方向飞行，缩短与导弹连线的相遇距离，此时 ${\alpha }_{\mathrm{u}}$ 应接近 0（即沿导弹逼近方向的反方向），可行域近似为 $0\le {\alpha }_{\mathrm{u}}\le {\alpha }_{\mathrm{u}}^{\ast }$，其中 ${\alpha }_{\mathrm{u}}^{\ast }$ 是一个较小的角度阈值。

以上两种思路对应了两类不同的战术（"贴近真目标遮蔽" vs. "贴近导弹拦截"），实际求解时可分别在各自压缩后的可行域内做局部优化，比较两者所得的最大 $T$。

(2) 飞行速度 $v_{\mathrm{u}}$ 的压缩：与航向的两种思路对应，

• 当无人机朝真目标方向飞行时，取 $70\le v_{\mathrm{u}}\le v_{\mathrm{u}}^{\ast }$（不宜过快冲过投放点）；
• 当无人机朝导弹方向飞行时，取 $v_{\mathrm{u}}^{\ast \ast }\le v_{\mathrm{u}}\le 140$（应尽量快以缩短接近时间）。

(3) 投放时间 $t_{\mathrm{u}}$ 的范围：必须在导弹飞抵假目标之前完成投放，即

$$0\le t_{\mathrm{u}}\le \frac{\left|P_{\mathrm{m}}^0{P}_{\mathrm{t}}\right|}{v_{\mathrm{m}}}.$$

(4) 起爆时间 $t_{\mathrm{b}}$ 的范围：由 2.4 节自由落体高度非负的要求，

$$z_{\mathrm{u}}^0-\frac{1}{2}g{t}_{\mathrm{b}}^2\ge 0⟺0\le t_{\mathrm{b}}\le \sqrt{\frac{2z_{\mathrm{u}}^0}{g}}.$$

综合"朝真目标飞行"这一思路，问题 2 的精简优化模型为

$$\begin{array}{rl}\max & T\\ \text{s.t.}& \pi +2\arctan \frac{y_{\mathrm{c}}-y_{\mathrm{m}}^0}{x_{\mathrm{c}}-x_{\mathrm{m}}^0}\le {\alpha }_{\mathrm{u}}\le \pi \\ & 70\le v_{\mathrm{u}}\le v_{\mathrm{u}}^{\ast }\\ & 0\le t_{\mathrm{u}}\le \frac{\left|P_{\mathrm{m}}^0{P}_{\mathrm{t}}\right|}{v_{\mathrm{m}}}\\ & 0\le t_{\mathrm{b}}\le \sqrt{\frac{2z_{\mathrm{u}}^0}{g}}\end{array}$$

而"朝导弹飞行"思路对应的模型只需将前两条约束换为

$$0\le {\alpha }_{\mathrm{u}}\le {\alpha }_{\mathrm{u}}^{\ast },v_{\mathrm{u}}^{\ast \ast }\le v_{\mathrm{u}}\le 140.$$

求解方法：目标函数 $T({\alpha }_{\mathrm{u}},v_{\mathrm{u}},t_{\mathrm{u}},t_{\mathrm{b}})$ 无解析式，只能逐点数值求值（内层调用第 4 节改进二分法），属于低维（4 维）黑箱连续优化问题，可用网格搜索 + 局部精细搜索，或用差分进化/粒子群等智能算法在压缩后的可行域内求近似最优解。

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情形二：1 枚导弹、1 架无人机、3 枚烟幕干扰弹

同一架无人机（航向 ${\alpha }_{\mathrm{u}}$、速度 $v_{\mathrm{u}}$ 一旦确定，对 3 枚弹通用）依次投放 3 枚干扰弹，投放时刻 $t_{\mathrm{u}}^i$、起爆时刻（对应的自由落体时长）$t_{\mathrm{b}}^i$，$i=1,2,3$ 可分别设置，但相邻两次投放需满足最小间隔 $\Delta t_{\mathrm{u}}(=1\text{ s})$。

单弹遮蔽区间与时间并集

对每枚干扰弹 $i$，用第 4 节方法求得其单独的遮蔽区间 $[T_s^i,T_e^i]$，时长 $T_i=T_e^i-T_s^i$。若三个区间两两不相交，总遮蔽时长为简单求和：

$$T=\sum _{i=1}^3{T}_i.$$

但一般情况下遮蔽区间可能存在重叠（例如新投放的干扰弹在旧干扰弹尚未失效前就已生效）：

此时简单求和会重复计入重叠部分，正确做法是取并集的测度：

$$\omega =\bigcup _{i=1}^3\left[T_s^i,T_e^i\right],T=|\omega |.$$

（当区间两两不交时，$|\omega |={\sum }_i{T}_i$，与前式一致，说明后者是前者在无重叠情形下的特例。）

协同遮蔽：单个云团不足以遮蔽整体时的空间互补

进一步地，即使在某一时刻没有任何单个烟幕球能独自满足 3.1 节"上下底面圆周均被遮蔽"的条件，仍可能出现多个云团联合遮住真目标各部分、从而整体被遮蔽的情形（即真目标表面上不同的点分别由不同的云团各自负责遮蔽）：

协同遮蔽的充要条件：真目标能被多个烟幕联合遮蔽，当且仅当对真目标表面上任意一点 $P_{\mathrm{c}}$，都存在某个烟幕 $i$（$i=1,2,3$）能够单独遮蔽该点，即存在 $i$ 使得烟幕 $i$ 的球心到直线 $P_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{c}}$ 的距离不超过 $r_{\mathrm{s}}$：

$$\exists i\in \{1,2,3\}:d\left(P_{\mathrm{s}}^i,P_{\mathrm{c}}\right)\le r_{\mathrm{s}}⟺\underset{1\le i\le 3}{\min }d\left(P_{\mathrm{s}}^i,P_{\mathrm{c}}\right)\le r_{\mathrm{s}}.$$

要求对真目标表面所有点都成立，等价于最不利点（离所有云团都最远的点）也满足条件，即

$$\underset{P_{\mathrm{c}}}{\max }\underset{1\le i\le 3}{\min }d\left(P_{\mathrm{s}}^i,P_{\mathrm{c}}\right)\le r_{\mathrm{s}}.$$

这是一个 max-min 型的判据，比 6.1 节"各云团独立判别再取并集"的模型更贴近物理实际（允许云团分工遮蔽不同部位），但计算上也更复杂——需要在真目标表面（或至少其上下底面圆周，依据 3.1 节的凸性归约同样适用）上求解一个内层为 $\min$、外层为 $\max$ 的双层极值问题。$\Omega$ 即为该判据成立的时间集合：

$$\Omega =\left\{t|\underset{P_{\mathrm{c}}}{\max }\underset{1\le i\le 3}{\min }d\left(P_{\mathrm{s}}^i,P_{\mathrm{c}}\right)\le r_{\mathrm{s}}\right\}.$$

问题 3 的优化模型

决策变量：无人机的航向 ${\alpha }_{\mathrm{u}}$、速度 $v_{\mathrm{u}}$（对 3 枚弹共用），以及各弹的投放/起爆时间 $t_{\mathrm{u}}^i,t_{\mathrm{b}}^i(i=1,2,3)$：

$$\begin{array}{rl}\max & {\int }_{\Omega }1\mathrm{d}t\\ \text{s.t.}& 0\le {\alpha }_{\mathrm{u}}\le 2\pi ,70\le v_{\mathrm{u}}\le 140\\ & t_{\mathrm{u}}^i\ge 0,t_{\mathrm{u}}^{i+1}\ge t_{\mathrm{u}}^i+\Delta t_{\mathrm{u}},t_{\mathrm{b}}^i\ge 0(i=1,2,3).\end{array}$$

与 5.2 节相同的思路，可用"朝真目标方向飞行"的直觉压缩 ${\alpha }_{\mathrm{u}},v_{\mathrm{u}}$ 的可行域，并补充总投放时间不超过导弹抵达假目标时间、起爆时间不超过自由落体上限等约束，得到精简模型：

$$\begin{array}{rl}\max & {\int }_{\Omega }1\mathrm{d}t\\ \text{s.t.}& \pi +2\arctan \frac{y_{\mathrm{c}}-y_{\mathrm{m}}^0}{x_{\mathrm{c}}-x_{\mathrm{m}}^0}\le {\alpha }_{\mathrm{u}}\le \pi \\ & 70\le v_{\mathrm{u}}\le v_{\mathrm{u}}^{\ast }\\ & t_{\mathrm{u}}^1\ge 0,t_{\mathrm{u}}^i\ge t_{\mathrm{u}}^{i-1}+\Delta t_{\mathrm{u}}(i=2,3)\\ & \sum _{i=1}^3{t}_{\mathrm{u}}^i\le \frac{\left|P_{\mathrm{m}}^0{P}_{\mathrm{t}}\right|}{v_{\mathrm{m}}}\\ & 0\le t_{\mathrm{b}}^i\le \sqrt{\frac{2z_{\mathrm{u}}^0}{g}}(i=1,2,3),\end{array}$$

以及对应"朝导弹方向飞行"思路的模型（仅替换航向、速度约束）：

$$\begin{array}{rl}\max & T\\ \text{s.t.}& 0\le {\alpha }_{\mathrm{u}}\le {\alpha }_{\mathrm{u}}^{\ast }\\ & v_{\mathrm{u}}^{\ast \ast }\le v_{\mathrm{u}}\le 140\\ & t_{\mathrm{u}}^1\ge 0,t_{\mathrm{u}}^i\ge t_{\mathrm{u}}^{i-1}+\Delta t_{\mathrm{u}}(i=2,3)\\ & \sum _{i=1}^3{t}_{\mathrm{u}}^i\le \frac{\left|P_{\mathrm{m}}^0{P}_{\mathrm{t}}\right|}{v_{\mathrm{m}}}\\ & 0\le t_{\mathrm{b}}^i\le \sqrt{\frac{2z_{\mathrm{u}}^0}{g}}(i=1,2,3).\end{array}$$

同样用智能算法（可行域降至 8 维：${\alpha }_{\mathrm{u}},v_{\mathrm{u}},t_{\mathrm{u}}^{1,2,3},t_{\mathrm{b}}^{1,2,3}$）求近似最优，结果存入 result1.xlsx。

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情形三：1 枚导弹、3 架无人机、各 1 枚烟幕干扰弹

与情形二的关键区别在于：3 枚干扰弹分别来自不同的无人机（FY1、FY2、FY3），因此每架无人机拥有各自独立的航向 ${\alpha }_{\mathrm{u}}^i$ 与速度 $v_{\mathrm{u}}^i$（$i=1,2,3$ 现在标记"第几架无人机"而非"第几枚弹"），彼此互不影响、也不受最小投放间隔 $\Delta t_{\mathrm{u}}$ 约束（因为是不同飞行器各自投放）。协同遮蔽的 max-min 判据、$\Omega$ 的定义与 6.2 节完全相同，只是烟幕球心 $P_{\mathrm{s}}^i$ 现在由三架不同无人机各自的运动参数决定。

一般优化模型

$$\begin{array}{rl}\max & {\int }_{\Omega }1\mathrm{d}t\\ \text{s.t.}& 0\le {\alpha }_{\mathrm{u}}^i\le 2\pi ,70\le v_{\mathrm{u}}^i\le 140,t_{\mathrm{u}}^i\ge 0,t_{\mathrm{b}}^i\ge 0(i=1,2,3).\end{array}$$

结合各无人机初始位置压缩可行域

由于三架无人机初始位置各不相同，5.2 节"朝真目标 / 朝导弹方向飞行"的压缩思路需要分别针对每架无人机的初始位置计算各自的角度、速度上下界 $[{\alpha }_{\mathrm{u},\min }^i,{\alpha }_{\mathrm{u},\max }^i]$、$[v_{\mathrm{u},\min }^i,v_{\mathrm{u},\max }^i]$：

$$\begin{array}{rl}\max & {\int }_{\Omega }1\mathrm{d}t\\ \text{s.t.}& {\alpha }_{\mathrm{u},\min }^i\le {\alpha }_{\mathrm{u}}^i\le {\alpha }_{\mathrm{u},\max }^i(i=1,2,3)\\ & v_{\mathrm{u},\min }^i\le v_{\mathrm{u}}^i\le v_{\mathrm{u},\max }^i(i=1,2,3)\\ & 0\le t_{\mathrm{u}}^i\le \frac{\left|P_{\mathrm{m}}^0{P}_{\mathrm{t}}\right|}{v_{\mathrm{m}}}(i=1,2,3)\\ & 0\le t_{\mathrm{b}}^i\le \sqrt{\frac{2z_{\mathrm{u}}^0}{g}}(i=1,2,3).\end{array}$$

该模型是 12 维（每架无人机 4 个变量 $\times$ 3 架）连续优化问题，仍需用智能算法求解，结果存入 result2.xlsx。

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情形四：3 枚导弹、5 架无人机、各 3 枚烟幕干扰弹

这是最一般的情形：5 架无人机 FY1～FY5（记编号 $i=1,\dots ,5$），每架各携带 3 枚干扰弹（记编号 $j=1,2,3$），需要合力对 3 枚来袭导弹 M1、M2、M3 实施遮蔽。问题分解为两个层次：(a) 给定"某架无人机负责哪枚导弹"的分配方案后，如何优化该无人机的运动与投放参数（沿用情形三的方法）；(b) 如何在 5 架无人机与 3 枚导弹之间做出最优的任务分配。

单机-单弹层面的连续优化

对第 $i$ 架无人机，决策变量为 ${\alpha }_{\mathrm{u}}^i,v_{\mathrm{u}}^i$（对其 3 枚弹共用）及各弹的 $t_{\mathrm{u}}^{ij},t_{\mathrm{b}}^{ij}$：

$$\begin{array}{rl}\max & {\int }_{\Omega }1\mathrm{d}t\\ \text{s.t.}& {\alpha }_{\mathrm{u},\min }^i\le {\alpha }_{\mathrm{u}}^i\le {\alpha }_{\mathrm{u},\max }^i,v_{\mathrm{u},\min }^i\le v_{\mathrm{u}}^i\le v_{\mathrm{u},\max }^i(i=1,\dots ,5)\\ & t_{\mathrm{u}}^{ij}\ge 0,t_{\mathrm{u}}^{i,j+1}\ge t_{\mathrm{u}}^{ij}+\Delta t_{\mathrm{u}},t_{\mathrm{b}}^{ij}\ge 0(i=1,\dots ,5,j=1,2,3),\end{array}$$

其中协同遮蔽的时间集合此时扩展为对 15 枚云团取 $\min$：

$$\Omega =\left\{t|\underset{P_{\mathrm{c}}}{\max }\underset{\begin{array}{c}1\le i\le 5\\ 1\le j\le 3\end{array}}{\min }d\left(P_{\mathrm{s}}^{ij},P_{\mathrm{c}}\right)\le r_{\mathrm{s}}\right\}.$$

考虑到该问题维度过高（$5\times (2+2\times 3)=40$ 维）难以整体联合优化，采用分解 + 分配的两阶段策略：先假设"每架无人机只负责一枚导弹"，利用第 6 节（情形二，单机三弹对单一导弹）的方法，对每一种"无人机 $i$ — 导弹 $j$"的配对分别求出该配对下的最大遮蔽时长，记为 $T_{ij}(i=1,\dots ,5,j=1,2,3)$，共 15 组独立的子优化问题（每组即一个 8 维优化，复用第 6 节的求解方法）。

无人机—导弹分配的整数规划

得到 $T_{ij}$ 矩阵后，引入 0-1 分配变量 $x_{ij}$（$x_{ij}=1$ 表示无人机 $i$ 分配给导弹 $j$），建立指派型整数规划：

$$\begin{array}{rlrl}\max & T=\sum _{i=1}^5\sum _{j=1}^3{T}_{ij}{x}_{ij}& & \\ \text{s.t.}& \sum _{j=1}^3{x}_{ij}\le 1(i=1,\dots ,5)& & \text{（每架无人机至多负责一枚导弹）}\\ & \sum _{i=1}^5{x}_{ij}\ge 1(j=1,2,3)& & \text{（每枚导弹至少有一架无人机负责）}\\ & x_{ij}\in \{0,1\}(i=1,\dots ,5,j=1,2,3).& & \end{array}$$

该问题是标准的广义指派问题（一侧供给约束为 $\le 1$，另一侧需求约束为 $\ge 1$），可用匈牙利算法的推广、分支定界或直接调用整数规划求解器得到最优分配 $x_{ij}^{\ast }$。

注意（近似性说明）：${\sum }_{i,j}{T}_{ij}{x}_{ij}$ 是把"多架无人机各自独立遮蔽各自导弹"的时长简单相加，隐含假设了不同导弹的遮蔽事件互不相关（这是合理的，因为不同导弹沿不同直线接近各自的观测点）。但若允许一架无人机的多枚弹协同支援多枚导弹（打破"每机只服务一枚导弹"的假设），理论上可能获得更优解，此处的 $x_{ij}$ 模型是一个计算上可行的近似分解方案。

结果计算

对最优分配中 $x_{ij}^{\ast }=1$ 所对应的各架无人机参数 ${\alpha }_{\mathrm{u}}^i,v_{\mathrm{u}}^i,t_{\mathrm{u}}^{ij},t_{\mathrm{b}}^{ij}$，代回 8.1 节的判据重新计算

$${\int }_{\Omega }1\mathrm{d}t,$$

即得到全部烟幕干扰弹协同遮蔽 3 枚导弹的近似最优总时长，作为情形四的最终结果。

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评阅中发现的问题

本节汇总在评阅/复盘过程中发现的、上述模型可以改进之处，供进一步修改参考。

遮蔽判别模型的其他等价写法

(1) 交点判别法

除第 3 节的距离法与夹角法外，还可以直接联立烟幕球面方程与连线方程求交点：烟幕球面

$$(x-x_{\mathrm{s}}{)}^2+(y-y_{\mathrm{s}}{)}^2+(z-z_{\mathrm{s}}{)}^2=r_{\mathrm{s}}^2,$$

真目标上一点 $P_{\mathrm{c}}(x_{\mathrm{c}},y_{\mathrm{c}},z_{\mathrm{c}})$ 与导弹 $P_{\mathrm{m}}(x_{\mathrm{m}},y_{\mathrm{m}},z_{\mathrm{m}})$ 的连线（用参数 $\lambda \in [0,1]$ 表示从 $P_{\mathrm{m}}$ 到 $P_{\mathrm{c}}$ 的线段）：

$$\{\begin{array}{l}x=\lambda x_{\mathrm{c}}+(1-\lambda )x_{\mathrm{m}}\\ y=\lambda y_{\mathrm{c}}+(1-\lambda )y_{\mathrm{m}}\\ z=\lambda z_{\mathrm{c}}+(1-\lambda )z_{\mathrm{m}}\end{array}$$

代入球面方程得到关于 $\lambda$ 的一元二次方程：

$$[(\lambda x_{\mathrm{c}}+(1-\lambda )x_{\mathrm{m}})-x_{\mathrm{s}}{]}^2+[(\lambda y_{\mathrm{c}}+(1-\lambda )y_{\mathrm{m}})-y_{\mathrm{s}}{]}^2+[(\lambda z_{\mathrm{c}}+(1-\lambda )z_{\mathrm{m}})-z_{\mathrm{s}}{]}^2=r_{\mathrm{s}}^2.$$

当该方程判别式 $\ge 0$（有实根）且至少一个根落在 $\lambda \in [0,1]$ 内（交点确实落在线段上，而非线段的延长线上）时，真目标该点被烟幕遮蔽。此法的优点是天然只考察 $P_{\mathrm{m}}\to P_{\mathrm{c}}$ 的线段本身，自动规避了 3.4 节"导弹越过烟幕"的伪遮蔽问题（因为要求 $\lambda \in [0,1]$），是与 3.5 节夹角法同等严谨、可相互印证的第三种等价实现。

(2) 夹角判别法：即正文 3.5 节的方法，此处不再重复，仅补充示意图：

小结：距离法（3.2～3.4 节）、交点法（本节 (1)）、夹角法（3.5 节）三者在数学上等价，但交点法与夹角法在工程实现上更优，因为它们把"连线是线段还是直线"这一容易出错的细节直接内建到判据本身，而不需要像距离法那样额外补一层"导弹是否越过烟幕"的判断逻辑。后续实现建议优先采用交点法或夹角法。

真目标上离散判别点集的选取问题

在数值实现中，若不能直接求解 3.3 节的连续极值问题，常见的简化做法及其局限性有：

1. 仅取圆柱体内部的离散网格点：可能遗漏边界（圆周）附近真正的最不利点，导致遮蔽时长被高估；
2. 仅取下底面的离散点：忽略了上底面可能是更严格的约束（尤其当导弹从上方俯冲时），同样可能高估遮蔽效果；
3. 只取圆柱体的单一特征点（如中心轴线上一点）：完全忽略了真目标的几何范围，误差最大。

正确做法应如 3.1～3.3 节所述，将"整体遮蔽"严格归约为"上下底面圆周整体遮蔽"这一连续极值问题求精确解，而非用有限离散点集近似代替，以避免因采样不足引入的系统性高估。

直接用原始数据"硬编码"建立模型的问题

若在建模中直接代入题目给定的具体坐标数值（而非保留符号变量），会导致模型缺乏通用性——一旦目标位置、导弹初始点等参数发生变化（如情形三、四中涉及多枚导弹、多架无人机的多组坐标），模型需要整体重写而无法复用。应始终以符号形式（如本文 $P_{\mathrm{m}}^0,P_{\mathrm{u}}^0,P_{\mathrm{c}}$ 等）建立模型，仅在数值求解阶段代入具体数据。

算法实现细节的完整性问题

1. 改进二分法的适用前提：传统二分法要求目标函数（或判据）关于搜索变量单调，而"是否被遮蔽"本身不满足单调性，必须像 4.3 节那样，借助"距离变化趋势"作为搜索方向的辅助判据，才能正确收敛；若不加改进直接套用传统二分法，可能得到错误的区间端点。
2. 传统优化方法的局限：本文多处优化模型的目标函数 $T(\cdot )$ 或 ${\int }_{\Omega }1\mathrm{d}t$ 不存在解析梯度（每次求值都需要调用第 4 节的判别/二分子程序），基于梯度的传统优化方法（如牛顿法、梯度下降）难以直接适用或容易陷入局部最优，实践中效果往往不理想。
3. 智能算法参数需给出具体数值：若采用遗传算法、粒子群优化、差分进化等智能算法求解上述黑箱优化问题，仅描述算法的一般流程是不够的，还必须明确给出关键超参数的具体取值（如种群规模、迭代次数、交叉/变异概率、惯性权重等），否则结果不可复现，也难以评估收敛质量。

完整讲义